第 210 章 三角换元法之探

又一日，学堂之内，戴浩文再开新篇。

戴浩文缓声道：“今日为师要与尔等讲授另一奇妙之法，名曰三角换元法。”

众学子皆屏气凝神，静待下文。

李华拱手问道：“先生，此三角换元法又是何意？”

戴浩文微笑答道：“且看，若有方程 x2 + y2 = 1，吾等可设 x = cosθ，y = sinθ，此即为三角换元。”

张明面露疑惑：“先生，为何如此设之？”

戴浩文耐心解释道：“诸君可知三角函数之特性？cos2θ + sin2θ = 1，恰与吾等所给方程相符。如此设之，可使求解之路径明晰。”

王强问道：“那若方程为 x2 + 4y2 = 4，又当如何？”

戴浩文道：“此时，可设 x = 2cosθ，y = sinθ。如此，原方程便化为 4cos2θ + 4sin2θ = 4，正合题意。”

赵婷轻声道：“先生，此设颇有巧妙之处。”

戴浩文点头道：“然也。再看若有式子 √(1 - x2)，吾等设 x = sinθ，则此式可化为 √(1 - sin2θ) = cosθ 。”

李华思索片刻道：“先生，此换元法于解题有何妙处？”

戴浩文笑曰：“其妙处众多。若求函数之最值，或化简复杂之式，皆能大显身手。譬如，求函数 x + √(1 - x2) 之值域。”

众学子纷纷低头思索。

戴浩文见状，提示道：“已设 x = sinθ，代入可得 sinθ + cosθ 。诸君可还记得两角和之公式？”

张明恍然道：“先生，吾记得，sinθ + cosθ = √2sin(θ + π/4) 。”

戴浩文赞道：“善！由此可知其值域为 [-√2, √2] 。”

王强又问：“先生，若式中含分式，又当如何？”

戴浩文道：“莫急，若有式子 (1 - x2) / (1 + x2) ，设 x = tanθ ，则可化简求解。”

赵婷道：“先生，此中计算恐有繁难之处。”

戴浩文道：“不错，然只要步步为营，细心推之，必能解出。”

说罢，戴浩文在黑板上详细演示计算过程。

......

如此讲学许久，学子们对三角换元法初窥门径。

戴浩文又道：“今留数题，尔等课后细细思索。若有不明，来日再论。”

学子们领命而去，皆欲深研此奇妙之法。

数日之后，众学子再次齐聚学堂。

戴浩文扫视众人，缓声问道：“前几日所授三角换元法，尔等可有研习？”

学子们纷纷点头，李华率先说道：“先生，学生课后反复思索，略有心得，然仍有诸多不明之处。”

戴浩文微笑道：“但说无妨。”

李华拱手道：“若方程为 9x2 + 16y2 = 144，该如何进行三角换元？”

戴浩文答道：“可设 x = 4cosθ，y = 3sinθ。如此一来，原方程化为 16cos2θ + 9sin2θ = 144，与原式契合。”

王强接着问道：“先生，那对于形如 √(x2 - 2x + 1) 这样的式子，又当如何三角换元？”