《第 231 章 不动点法：探寻数列的奥秘》

在同学们对循序渐进的智慧有了深刻理解之后，戴浩文先生决定给大家带来新的知识——不动点法求数列通项公式。

上课铃声响起，同学们都满怀期待地看着戴浩文先生。

戴浩文先生微笑着走上讲台，说道：“同学们，今天我们要一起探索一个神奇的数学方法——不动点法，来求解数列的通项公式。”

听到这个新的名词，同学们眼中充满了好奇。

戴浩文先生在黑板上写下了一个数列的递推公式： ，然后问道：“大家看看，对于这样的数列递推公式，我们怎么去找到它的通项公式呢？”

同学们纷纷皱起眉头，开始思考。

一位同学举手说道：“先生，感觉这个好复杂，不知道从哪里入手。”

戴浩文先生笑着说：“别着急，这就是我们今天要学习的不动点法的用武之地啦。首先，我们来理解一下什么是不动点。假设函数 ，如果存在一个实数 ，使得 ，那么 就是函数 的不动点。”

同学们似懂非懂地点点头。

戴浩文先生继续说道：“对于我们这个数列递推公式，我们把它看成一个函数 ，然后求解方程 。”

说着，戴浩文先生在黑板上开始解方程：

解完方程，戴浩文先生说道：“所以， 就是这个函数的不动点。”

又有同学问道：“先生，求出不动点之后呢？”

戴浩文先生说：“接下来就神奇啦。我们令 。”

同学们开始动笔跟着算。

戴浩文先生接着说：“然后我们把 代入 的表达式中，经过一番化简，会得到一个很有趣的结果，大家试试看。”

同学们纷纷埋头计算，不一会儿，一位同学兴奋地说：“先生，我算出来了，得到了一个关于 的简单递推式！”

戴浩文先生赞许地点点头，说道：“非常好！通过这个简单的递推式，我们是不是就可以更容易地求出 的通项公式啦？”

同学们恍然大悟，纷纷点头。

戴浩文先生又问道：“那求出 的通项公式之后，怎么得到 的通项公式呢？”

同学们又陷入了思考，开始互相讨论。

过了一会儿，一位同学站起来说：“先生，是不是可以把 的通项公式反解出 ？”

戴浩文先生笑着说：“没错！你很棒！”

然后戴浩文先生在黑板上完整地演示了一遍求解过程。

讲完之后，戴浩文先生说：“大家都明白了吗？我们来做一道练习题试试。”

戴浩文先生在黑板上写下了另一个数列递推公式：

同学们马上开始动手计算。

戴浩文先生在教室里走动，观察同学们的计算过程，不时给予指导和提示。

一位同学算完后，不太确定地说：“先生，我算出来的不动点是 1，对吗？”

戴浩文先生看了看他的计算过程，说道：“非常正确，那接着往下算吧。”

同学们陆续算出了结果，戴浩文先生让一位同学上台展示他的解法。

同学讲完后，戴浩文先生说：“大家做得都很不错。那我们再深入思考一下，如果不动点不止一个，又该怎么办呢？”

同学们又开始热烈地讨论起来。

讨论结束后，戴浩文先生总结道：“如果不动点不止一个，我们可以分别构造不同的式子，然后再进行求解。”

接着，戴浩文先生又给出了几个更复杂的数列递推公式，让同学们分组讨论，用不动点法求解。

教室里顿时热闹起来，同学们各抒己见，思维的火花不断碰撞。