《第 244 章 对勾深研，智慧绽放》

时光悄然流逝，戴浩文与学子们沉浸在对勾函数的奇妙世界，已然忘却了时间的流转。自开启对勾函数的探索之旅后，众人对这神秘的数学之象愈发好奇，求知之火熊熊燃烧。

戴浩文见学子们如此热忱，心中欣慰。一日，他踱步于学堂，目光如炬，缓缓开口：“吾辈既已初窥对勾函数之奥秘，今当更进一步，深究其中之玄妙。”学子们正襟危坐，眼神满是期待。

“先看对勾函数的变形之法。对勾函数一般形式为 y = x + a/x，其中 a 为常数且 a≠0。若将其变形，可得 y = (√x)2 + (√a/√x)2 - 2√a + 2√a = (√x - √a/√x)2 + 2√a。”

学子们凝视黑板上的公式，陷入沉思。戴浩文见状，微笑道：“细思此变形有何妙处？”一学子起身拱手道：“先生，此变形可更直观看出函数最值情况。”戴浩文微微点头：“善哉！汝之悟性颇高。当√x = √a/√x 时，即 x = √a，此时函数取得最小值 2√a。”

“再观对勾函数之拓展。若将对勾函数变为 y = mx + n/x，其中 m、n 为常数且 m、n≠0，此又当如何分析？”学子们低头思索，片刻后，一学子道：“先生，此似可类比一般之对勾函数，其图像亦应为类似双勾之形状。”戴浩文赞道：“然也。此函数之性质与一般对勾函数有诸多相似之处，亦有其独特之处。其定义域仍为 x≠0，奇偶性可通过计算 f(-x)来判断。当 x＞0 时，其单调性亦需通过求导等方法来确定。”

戴浩文继续道：“今再探对勾函数与其他函数之关系。若有函数 y = kx + b，其中 k、b 为常数，当此函数与对勾函数相交时，又当如何求解？”学子们面面相觑，感此问题棘手。戴浩文引导道：“可先联立两函数方程，再求解方程组。”学子们恍然大悟，纷纷动手尝试。

一学子率先求解道：“设对勾函数 y = x + a/x 与函数 y = kx + b 相交，则有 x + a/x = kx + b，整理得 x2-(kx + b)x + a = 0。”戴浩文点头道：“甚善。由此方程可求解出交点之横坐标，进而求出纵坐标。此乃求解对勾函数与其他函数相交问题之关键。”

“对勾函数之应用，远不止此前所讲。有一商人欲运货，已知货物重量为 m，运费与路程成正比，比例系数为 k。又知运输工具载重量为 n，若超重则需额外支付费用，费用与超重部分成正比，比例系数为 p。现求总运费最低时之运输方案。”

学子们陷入沉思，良久，一学子道：“先生，可否以对勾函数之知识求解？”戴浩文微笑道：“汝可试言之。”学子道：“设运输次数为 x，则每次运输重量为 m/x。当不超重时，运费为 k(m/x)·s，其中 s 为路程。当超重时，超重部分为 m/x - n，额外费用为 p(m/x - n)。则总运费为 f(x)=k(m/x)·s + p(m/x - n)，化简可得 f(x)=kms/x + pm/x - pn。此似可视为对勾函数之变形。”戴浩文大笑道：“妙极！汝等当细思此解法之思路。”

众学子纷纷点头，深入分析此问题。戴浩文又道：“对勾函数在几何问题中亦有妙用。如，有一圆形池塘，半径为 r。在池塘边有一点 A，距池塘中心 d。现从点 A 引一直线与池塘相切，求切线长度与切点位置之关系。”

一学子思索片刻后道：“先生，可设切点为 B，连接圆心 O 与切点 B，则 OB⊥AB。根据勾股定理，AB = √(AO2 - OB2)=√(d2 - r2)。此与对勾函数有何关系？”戴浩文道：“汝等可再思之。若将此问题拓展，设点 A 到池塘边任意一点 C 的距离为 x，点 C 到圆心的距离为 y，则 AC = √((x - d)2 + y2)。此式可通过变形与对勾函数产生联系。”

学子们恍然大悟，开始尝试各种变形方法。戴浩文看着学子们积极探索的模样，心中欢喜。

“对勾函数之奥秘，犹如星辰大海，吾等虽已探索颇多，然仍有无数未知等待吾辈去发现。今可进行一些实践活动，以加深对其理解。”

戴浩文带领学子们来到户外。“今有一绳索，长为 l。欲将其围成一矩形，求矩形面积最大时之边长。”学子们纷纷动手尝试，有的用绳子实际围成矩形，有的则在纸上进行计算。

一学子道：“设矩形长为 x，则宽为 l/2 - x。矩形面积为 S = x(l/2 - x)，化简得 S = lx/2 - x2。此可视为对勾函数之变形。”戴浩文点头道：“善。汝等可继续求解面积最大时之边长。”