第 212 章 黄金三角形

在经历了对顶角 120 度的等腰三角形的深入学习后，学子们满怀期待地迎来了新的一课。

戴浩文走进学堂，目光中透着神秘与兴奋，他清了清嗓子说道：“同学们，今日我们要探讨一种奇妙的三角形——顶角为 36 度的等腰三角形，它还有一个美妙的名字，叫做黄金三角形。”

李华好奇地问道：“先生，为何称之为黄金三角形？难道它藏着什么珍贵的秘密？”

戴浩文微笑着回答：“李华问得好。这黄金三角形啊，其腰与底边的比例有着独特的魅力。我们先来研究一下它的一些基本性质。”

戴浩文转身在黑板上画出一个顶角为 36 度的等腰三角形，“假设等腰三角形的顶角为 36 度，两腰为 a，底边为 b。”

王强举手说：“先生，那我们是不是也要像之前那样作垂线来帮助求解？”

戴浩文点头道：“王强思路敏捷。我们作一条角平分线，将底角平分。”说着，他在三角形中画出这条线。

“现在，我们得到了两个新的三角形。”戴浩文指着图形，“同学们观察一下，这两个新的三角形有什么特点？”

赵婷仔细看了看，说道：“先生，这两个三角形好像也是等腰三角形。”

戴浩文夸赞道：“赵婷观察得很仔细。其中一个是等腰三角形，而且它与原来的大三角形相似。”

张明疑惑地问：“先生，那这对我们探究腰和底边的关系有什么帮助呢？”

戴浩文解释道：“我们设腰与底边的比值为 k，即 a / b = k 。由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到一个等式。”

戴浩文在黑板上写下推导过程：

“接下来，我们对上式两边同时除以 b2。”戴浩文边说边写，

“令 ，则上式变为 ，解这个方程， 。”

戴浩文看着学子们，“因为比值为正数，所以 ，这个值就是着名的黄金分割比。”

学子们纷纷露出惊叹的表情。

王强说道：“先生，那这个黄金分割比与三角函数又有什么关系呢？”

戴浩文回答道：“这就涉及到我们今天要探讨的重点了，即腰与底边的正切值（Tan）。”

他在黑板上继续写道：“我们先求出底角的度数，底角为 (180 - 36) ÷ 2 = 72 度。”

“现在，我们来计算底角的正切值，Tan72 度。”戴浩文说，“Tan72 度 = Tan(36 + 36) 度。”

“根据三角函数的两角和公式，Tan(A + B) = 。”

戴浩文边写边解释：

李华忍不住说：“先生，这可怎么计算啊？”

戴浩文笑了笑：“莫急，我们设 Tan36 度 = x ，则上式变为 。”

“而 Tan72 度 = ，所以 。”

学子们纷纷动笔开始计算。

赵婷皱着眉头说：“先生，这个方程不太好解。”

戴浩文说道：“大家可以先将方程整理一下，变成一个二次方程。”

经过一番计算和整理，得到 ，即 。

解这个方程，可得 。

戴浩文说道：“所以，顶角为 36 度的等腰三角形，腰与底边的正切值（Tan）为 。”